จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

      จำนวนตรรกยะ

     ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน
มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

     จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

     ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมาและต่อเ นื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณี
ซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวนจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

     จำนวนอตรรกยะ(irrational Number)คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนa/b
เมื่อ aและb เป็นจำนวนเต็มโดยที่ bไม่เท่ากับ 0 หรือจำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น

2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

**หมายเหตุ pซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้ว p เป็นเลข

    ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่ รู้จบแบบซ้ำได้ Piเป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ.1706 ในหนังสือANewIntroduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่งออยเลอย์(Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้

          ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับ
เส้นผ่านศูนย์กลางเราจะ  พบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Piไ ด้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณหาค่า นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Piแล้วก็ยังมี
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า  Pi
เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

           อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr.Tomaczewski ผู้อำนวยการ TheAdvanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ Piผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจาก ทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า เป็นจำนวนตรรกยะ

      นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมาแต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์

จาก:http://www.skoolbuz.com/library/content/18