ความน่าจะเป็น

ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น
- พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่
- บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
- นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
- ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
- ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า
คำว่า "ความน่าจะเป็น" หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5
ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7
ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5 เราจะวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้อย่างไร?
เราสามารถวัดหาค่าความน่าจะเป็นได้สองวิธี (บางทีเป็น 3 วิธี) ขึ้นกับสภาวะแวดล้อม
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน
เมื่อเหตุการณ์ปรากฏมีลักษณะเหมือน ๆ กัน
สมมุติว่าเราทอยเหรียญจะมีโอกาสที่เป็นไปได้สองแบบคือ หัว หรือก้อย ถ้าเหรียญเป็นเหรีญญปกติ การทอยทอยอย่างยุติธรรม ผลที่เกิดหัวหรือก้อยมีลักษณะเท่าเทียมกัน
ทำนองเดียวกันที่เราทอยลูกเต๋า โอกาสที่ลูกเต๋าจะปรากฎหน้า 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 มีได้เท่ากัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าให้ปรากฎหน้าที่เป็นเลขคู่
ประชากรคนไทยยังนิยมการเสี่ยงโชค รัฐบาลได้ออกฉลากกินแบ่งหรือที่รู้จักกันในนามลอตเตอรี่ หรือ หวยรัฐบาล ตัวเลขของฉลากกินแบ่ง มี 6 ตัวเลข ซึ่งก็มีจำนวนฉลากทั้งสิ้น 1 ล้าน ฉบับ มีรางวัลที่หนึ่งมี 1 รางวัล รางวัลที่สอง มี 5 รางวัล รางวัลที่สามมี 10 รางวัล รางวัลที่สี่มี 50 รางวัล รางวัลที่ห้ามี 100 รางวัล
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่หนึ่ง คือ
โอกาสที่จะถูกรางวัลที่ 1 ถึง 5 มี
ดังนั้นถ้าเหตุการณ์ที่ปรากฎแต่ละครั้งมีโอกาสเท่าเทียมกับสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นคือ
ลักษณะที่กล่าวมานี้เห็นว่าโอกาสหรือสิ่งที่เป็นเหตุการณ์แต่ละครั้งที่ปรากฎ จะมีโอกาสความน่าจะเป็นเท่ากัน ลักษณะจึงเหมือนการทอยเหรียญ ลูกเต๋า หรือการซื้อลอตเตอรี่ ทุกครั้งที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นขึงมีความน่าจะเป็นที่ชัดเจน
    

จาก:http://www.panyathai.or.th/wiki/index.php/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%88%E0%B8%B0%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B9%87%E0%B8%99

การให้เหตุผล

        ในสมัยโบราณวิชาคณิตสตร์เกิดขึ้นมาโดยธรรมชาติการแก้ปัญหา ของมนุษย์เป็นการคิดค้นและพยายามที่จะแก้ปัญหานั้น ๆ เพื่อความอยู่รอดซึ่งความรู้ที่ได้มาจากความเป็นจริงในธรรมชาติ แนวทางการพัฒนาของวิชคณิตศาตร์ในสมัยนั้น จะเน้นวิธีการแก้ปัญหาเพียง เพื่อต้องการที่จะได้คำตอบก้พอโดยไม่คำนึงถึงความสัมพันธ์ใด ๆ ปัญหาที่เกิดขึ้นในสมัยก่อนส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติและเกี่ยวข้องกับความยาว มนุษย์จึงเริ่มรู้จักการใช้สัญลักษณ์แทนจำนวนรู้จักการคำนวณต่าง ๆ และสามารถใช้เรขาคณิตในการวัดระยะทาง ความสูง มุมต่าง ๆ เพื่อสร้างที่อยู่อาศัย เขื่อน และอ่งเก็บน้ำต่างๆ

        ในสมัยต่อมา มนุษย์ได้อาศัยกระบวนการให้เหตุผลมาช่วยในการแสวงหาความรู้ใหม่นักคณิตสาสตร์เริ่มหันมาให้ความสนใจต่อการให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนของวิธีการแก้ปัญหามากยิ่งขึ้น ทำให้การพัฒนาระบบวิชาคณิตศาสตร์เป็นไปโดยไม่ขึ้นอยู่กับธรรมชาติมากนักเมื่อนักคณิตศาสตร์มีความสนใจในการให้เหตุผลในแต่ละขั้นตอนสำหรับวิธีการแก้ปัญหานั้นๆ ทำให้เกิดการแสดงเหตุผลโดยเป็นกระบวนการของเหตุและผลขึ้นการแสดงเหตุผลจึงเป็นการเรียบเรียงข้อความหรือเหตุการณ์ต่าง ๆ ให้มีความต่อเนื่องและสัมพันธ์กันซึ่งทำให้ได้ข้อความใหม่หรือเหตุการณ์ใหม่  โดยเชื่อได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

        ดังนั้นกระบวนการให้เหตุผลจึงไม่จำเป็นต้องมีรากฐานที่เป็นจริงในธรรมชาติหรือเป็นจริงในชีวิตทำให้เกิดความเชื่อที่เป็นอิสระวิชาคณิตศาสตร์จึงมีความเจริญก้าวหน้าในแบบนามธรรมยิ่งขึ้นการให้เหตุผลเป็นการนำเอาข้อความหรือเหตุการณ์ตั้งแต่หนึ่งข้อความ หรือหลายข้อความมาเป็นเหตุุและมีข้อความที่สัมพันธ์กับข้อความเหล่านั้นหนึ่งข้อความมาเป็น ข้อสรุป

        โดยทั่วไป กระบวนการให้เหตุผลแบ่งออกได้ 2 วิธี คือ

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

       เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปจากเหตุ หลาย ๆ เหตุโดยถือหลักความจริงของเหตุจากส่วนย่อยหรือส่วนเฉพาะ ไปสู่การสรุปความจริงที่เป็นส่วนใหญ่ หรือส่วนรวโดยที่เหตุผลลักษณะ นี้จะประกอบไปด้วย ข้อความ 2 กลุ่มคือ ข้อความที่เป็นส่วนของเหตุและข้อความที่เป็นข้อสรุป โดยกลุ่มของข้อความที่เป็นเหตุจะทำให้เกิด ข้อสรุปของข้อความในกลุ่มหลังเราสามารถกล่าวได้ว่าการให้เหตุผล- แบบอุปนัยมีลักษณะการนำความรู้ที่ได้จากการตัดสินใจจากประสบการณ์ หลาย ๆครั้ง การสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้งมาเป็นเหตุย่อย หรือสมมติฐานต่าง ๆ แล้วนำมาสรุปเป็นคุณสมบัติของส่วนรวมทั้งหมด เป็นข้อความหรือความรู้ทั่วไปซึ่งจะครอบคลุมไปถึงสิ่งที่ยังไม่มีประสบการณ์หรือยังไม่ได้กล่าวอีกด้วย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย
       เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปผลจาก ข้อความซึ่งเป็นความจริงทั่วไปมาเป็นข้ออ้างเพื่อสนับสนุนให้เกิดข้อสรุป ที่เป็นความรู้ใหม่ที่เป็นข้อสรุปส่วนย่อยข้อสรุปที่ได้จากการให้เหตตุผล แบบนิรนัยนั้นจะเป็นข้อสรุปที่อยู่ในขอบเขตของเหตุเท่านั้นจะเป็นข้อสรุป ที่กว้างหรือเกินกว่าเหตุไม่ได้การให้เหตุผลแบบนิรนัยประกอบด้วยข้อความ 2กลุ่มโดยข้อความกลุ่มแรกเป็นข้อความที่เป็นเหตุ เหตุอาจมีหลาย ๆเหตุ หลาย ๆข้อความ และข้อความกลุ่มที่สองจะเป็นข้อสรุป ข้อความในกลุ่ม แรกและกลุ่มที่่สองจะต้องมีความสัมพันธ์กัน


จาก:http://www.maerim.ac.th/present_teach/ebook/methee/__1.html

เรื่อง สมบัติการบวกและการคูณ

1. สมบัติปิดถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a + b เป็นจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่าง
  9 + 6 = 15   เป็นจำนวนเต็มบวก
ที่ 1    2 + 3 = 5   เป็นจำนวนเต็มบวก2. สมบัติการสลับที่ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a + b = b + a
ตัวอย่าง
                        12 + 11 =  11 + 12 = 23ที่ 2       4 + 6   =   6 + 4   =   103. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b) + c
ตัวอย่าง

สมบัติการคูณ

1. สมบัติปิดถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b เป็นจำนวนเต็มบวก
ตัวอย่าง
ที่ 4     3 x 7  =  21   เป็นจำนวนเต็มบวก2. สมบัติการสลับที่ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b = b x a
ตัวอย่าง

25 x 10 = 10 x 25 = 250

ที่ 5   4 x 8   =   8 x 4   =   323. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว a x ( b x c ) = ( a x b) x c
ตัวอย่าง
    ( 8 x 6 ) x 4 =  48 x 4   =  192ที่ 6     8x ( 6 x 4 )   =   8 x 24   =  1924.
สมบัติการแจกแจงถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
( b + c ) x a = ( b x a ) + ( b x c )

ตัวอย่าง

ที่ 7    3x (5+6)   =  (3 x 5 ) + ( 3 x 6 )  =  33

( 4 + 9 ) x 5 = ( 4 x 5 ) + ( 9 x 5 ) = 20 + 45  =  65

สรุปสมบัติการบวก จะมี สมบัติปิด , สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม สมบัติการคูณ จะมี สมบัติปิด , สมบัติการสลับที่ , สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและ สมบัติการ แจกแจง

จาก:http://tc.mengrai.ac.th/kruawan/index6.htmที่ 3      4+ ( 5 + 2 )  =  ( 4 + 5 ) + 2  =  11

สมบัติการบวกและการคูณ

สมบัติการบวก

ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ คือ ระยะทางที่จำนวนนั้น ๆ อยู่ห่างจากศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนไม่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือทางขวาของศูนย์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ จะมีค่าเป็นบวกเสมอ กล่าวคือ

1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ 1 เท่ากับ 1

-1 มีระยะห่างจาก 0 เท่ากับ 1 หน่วย นั้นคือ ค่าสัมบูรณ์ของ -1 เท่ากับ 1

ถ้าเราจะพิจารณาบนเส้นจำนวนถึงนิยามของค่าสัมบูรณ์ ก็จะเป็นดังรูป

เราอาจจะใช้สัญลักษณ์ที่ใช้แทนค่าสัมบูรณ์ คือ | | เช่น
| -3 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ -3 คือ 3
| 6 | คือ ค่าสัมบูรณ์ของ 6 คือ 6

โดยสรุปเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ ถ้า กำหนดให้ a แทนจำนวนใด ๆ แล้ว

ข้อสังเกต
1. จำนวนเต็มลบซึ่งมีค่าน้อยกว่า เมื่อเปลี่ยนเป็นค่าสัมบูรณ์แล้วจะมีค่ามากกว่า เช่น -25 < -18 แต่ | -25 | > | -18 |
2. ค่า สัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกก็ได้ ขึ้นอยู่กับตัวเลข เช่น | -4 | > | 2 | แต่ -4 < 2

จาก:http://school.obec.go.th/hadsamranwit/caursware/darunee/Absolute.html

การประมาณค่า

การประมาณค่า — Presentation Transcript

• 1. พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 โดย ครูจิระประภา สุวรรณจักร์
• 2. การประมาณ เป็นการบอกขนาด จานวน หรือปริมาณที่ไม่ต้องการละเอียดถี่ถ้วน เป็นเพียงการคาดคะเนจานวนหรือปริมาณด้วยสายตาเท่านั้น ไม่จาเป็นต้องใช้เครืองวัด ่เครื่องคานวณ หรือการนับแต่อย่างใด
• 3. การบอกจานวนใด ๆ โดยวิธีการประมาณค่า นั้นนิยมบอกเป็นจานวนใกล้เคียงจานวนเต็มเช่น จานวนสิบจานวนเต็มร้อย จานวนเต็มพัน จานวนเต็มหมืน จานวน ่เต็มแสนจานวนเต็มล้าน ฯลฯ เป็นต้น 1.การประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มสิบ หมายถึงจานวนที่หลักหน่วยของเลข 2 หลักลงท้าย ด้วยเลข 0 เช่น 10 ,20 ,30 ,40 ,50 ,60 ,70 ,80 และ 90
• 4. โดยให้พิจาณาเฉพาะเลขหลักหน่วยเท่านั้น ดังนี้1. ถ้าตัวเลขในหลักหน่วยมีค่าต่ากว่า 5 ให้เราประมาณค่าเป็นจานวนเต็มสิบน้อยกว่าเลขจานวนนั้น เช่น324 หลักหน่วยของเลขจานวนนี้คือ 4 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 5ให้เราประมาณค่าจานวนเต็มสิบของจานวนนี้คือ 320ดูเส้นจานวนข้างล่างนี้ประกอบ 324 <------|------|------|------|------|------|------|------|------|-------> 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330
• 5. 2. ถ้าหลักหน่วยของเลขจานวนนั้นมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 5 ให้เราประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มสิบมากกว่าเลขจานวนนั้น เช่น 327 หลักหน่วยของเลขจานวนนี้คือ 7 เราก็สามารถประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มสิบของ เลขจานวนนี้คือ 330 326 <------|------|------|------|------|------|------|------|------|-------> 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330
• 6. 2.การประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มร้อย จานวนเต็มร้อยหมายถึงจานวนที่มีหลักหน่วยหลักสิบ ของเลข 3 หลักเป็นเลข 0 เช่น 100 , 200 , 300 ,400, 500 , 600 , 700, 800 และ 900 การประมาณค่าให้ใกล้เคียงจานวนเต็มร้อย ทาได้โดยพิจาณาจากตัวเลขเฉพาะในหลักสิบของจานวนนั้น ๆ ดังนี้ 1. ถ้าตัวเลขในหลักสิบมีค่าต่ากว่า 50 ให้ประมาณค่า จานวนนั้นเป็นจานวนเต็มร้อยน้อยกว่าเลขจานวนนั้น
• 7. เช่น จงประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มร้อยของ 2, 320 แนวคิด จานวน 2,320 อยู่ระหว่างจานวนเต็มร้อย คือ 2,300 กับ 2,400 และหลักสิบของเลขจานวนนี้คือ 20 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 50 ให้เราประมาณค่าจานวนเต็มร้อย ของจานวนนี้คือ 2,300 2,320<----|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|-------|------|------|----->2,300 10 20 30 40 50 60 70 80 90 2,400
• 8. 2. ถ้าหลักสิบของเลขจานวนนั้นมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ50 ให้ประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มร้อยมากกว่าจานวนนั้น เช่น ประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มร้อยของ 2,370 แนวคิด จานวน 2,370 อยู่ระหว่างจานวนเต็มร้อย คือ 2,300 กับ 2,400 และหลักสิบของเลขจานวนนี้คือ 70 ซึ่งมีค่ามากกว่า 50 ให้เราประมาณค่าจานวนเต็มร้อย ของจานวนนี้คือ 2,400 2,370<----|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|-------|------|------|----->2,300 10 20 30 40 50 60 70 80 90 2,400
• 9. 3.การประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มพัน จานวนเต็มพันหมายถึงจานวนที่มีหลักหน่วย สิบหลักร้อย ของเลข 4 หลักเป็นเลข 0 เช่น1000 ,2000 ,3000,4000,5000 ,6000 ,7000, 8000 และ9000 การประมาณค่าให้ใกล้เคียงจานวนเต็มพัน ทาได้โดยพิจาณาจากตัวเลขเฉพาะในหลักร้อยของจานวนนั้น ๆ ดังนี้ 1. ถ้าตัวเลขในหลักร้อยมีค่าต่ากว่า 500 ให้ประมาณค่า จานวนนั้นเป็นจานวนเต็มร้อยน้อยกว่าเลขจานวนนั้น
• 10. เช่น จงประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มพันของ 41, 270 แนวคิด จานวน 41,270 อยู่ระหว่างจานวนเต็มพัน คือ 41,000 กับ 42,000 และหลักร้อยของเลขจานวนนี้คือ270 ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 500 ให้เราประมาณค่าจานวนเต็มพัน ของจานวนนี้คือ 41,000 41,270<----|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|-------|------|------|----->41,000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 42,000
• 11. 2. ถ้าหลักร้อยของเลขจานวนนั้นมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ50 ให้ประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มพันมากกว่าจานวนนั้น เช่น ประมาณค่าใกล้เคียงจานวนเต็มพันของ 41,770 แนวคิด จานวน 41,770 อยู่ระหว่างจานวนเต็มพัน คือ 41,000 กับ 42,000 และหลักร้อยของเลขจานวนนี้คือ 770 ซึ่งมีค่ามากกว่า 50 ให้เราประมาณค่าจานวน เต็มพัน ของจานวนนี้คือ 42,000 41,770<----|-------|-------|-------|-------|-------|------|-------|-------|------|------|----->41,000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 42,000
• 12. 1. จงหาค่าประมาณของผลบวกต่อไปนี้ (1) 2,672 + 2,438 + 8,616 (2) 2,107 + 596 + 5,632 (3) 412 + 363 + 915 (4) 8,352 + 2,153 + 695 (5) 1,123 + 3,261 + 345 (6) 62,148 – 8,612 (7) 21 – 12.6 + 13.13
• 13. หลักการปัดเศษทศนิยมให้ดูเฉพาะเลขโดดที่อยูถัดจาก ทศนิยมตาแหน่งทีต้องการไป ่ ่ ทางขวามือ ตัวเดียวเท่านั้น และทาได้ครังเดียวเท่านั้น ้ ถ้าต่ากว่า 5 ตัดทิ้ง ตั้งแต่ 5 ขึ้นไปให้ปัดเป็นจานวนเต็ม
• 14. หลักการปัดเศษทศนิยม การปัดเศษให้เป็นจานวนเต็ม โดยพิจารณาตัวอย่าง จากทศนิยมตาแหน่งที่หนึง ่ 43.975  44 มากกว่า 5 ปัดขึ้นไปเป็น 1 43.525  44 เท่ากับ 5 ปัดขึนไปเป็น 1 ้ 43.497  44 น้อยกว่า 5 ตัดทิ้ง
• 15. หลักการปัดเศษทศนิยม การปัดเศษให้เป็นทศนิยมหนึ่งตาแหน่งตัวอย่าง โดยพิจารณาจากทศนิยมตาแหน่งที่สอง43.874  43.9 มากกว่า 5 ปัดขึ้นไปเป็น 0.1 43.854  43.9 เท่ากับ 5 ปัดขึนไปเป็น 0.1 ้ 43.834  43.8 น้อยกว่า 5 ตัดทิ้ง
• 16. หลักการปัดเศษทศนิยม การปัดเศษให้เป็นทศนิยมสองตาแหน่งตัวอย่าง โดยพิจารณาจากทศนิยมตาแหน่งที่สาม43.9782  43.98 มากกว่า 5 ปัดขึ้นไปเป็น 0.0143.9753  43.98 เท่ากับ 5 ปัดขึนไปเป็น 0.01 ้43.9723  43.97 น้อยกว่า 5 ตัดทิ้ง
• 17. แบบฝึกหัดเสริมทักษะ เรื่อง การปัดเศษ จงเติมจานวนในช่องว่างให้ถูกต้องข้อ จานวน จานวน จานวนเต็ม ทศนิยมหนึ่ง ทศนิยมสองที่ เต็มสิบ ตาแหน่ง ตาแหน่ง1. 0.8692. 9.8753. 26.23864. 156.03455. 2,444.098
• 18. เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง การปัดเศษ จงเติมจานวนในช่องว่างให้ถูกต้องข้อที่ จานวน จานวนเต็ม จานวนเต็ม ทศนิยมหนึ่ง ทศนิยมสอง สิบ ตาแหน่ง ตาแหน่ง 1. 0.869 0 1 0.9 0.87 2. 9.875 0 10 9.9 9.88 3. 26.2386 30 26 26.2 26.24 4. 156.0345 160 156 156 156.03 5. 2,444.098 2,440 2,444 2,444.1 2,444.1
• 19. ตัวอย่าง ถังน้ามันใบหนึ่งจุได้ 5,200 ลิตร เมื่อ ต้องตักน้ามันออกจากถังโดยใช้ถังเล็กขนาดจุ ได้ 1.8 ลิตร จะต้องตักอยู่กี่ครั้งน้ามันจึงจะหมดถังวิธีทา น้ามัน 5,200 ลิตร ถังตวงจุได้ 1.8 ลิตร ประมาณ 2 ลิตร ดังนั้น จะต้องตักอยู่ 5200  2600 2 ตอบ 2600 ครั้ง
• 20. ตัวอย่าง คุณแม่ซื้อข้าวสารมา 142 บาท สบู่ 37 บาท ผงซักฟอก 95บาท น้ามันพืช 27.75 บาท นมตราหมี 94.25 บาท จงหาว่าคุณแม่จ่ายเงินไปประมาณกี่บาทวิธีทา 142  140 37  40 95  100 27 . 75  30 94 . 25  90 จะได้ 140+40+100+30+90 = 400 บาท ดังนั้น 142+37+95+27.75+94.25  400 บาท
• 21. ลองทาดู คุณทาได้1. เมื่อปีการศึกษา 2540 จานวนประชากรประเทศไทยที่มีอายุที่อยู่ในวัยเรียน อุดมศึกษา 4,658,191 คน แต่ปรากฏว่ามีผู้เรียนอยู่ในระดับนี้อยู่เพียง 39.2% ของจานวนประชากรในวันนี้จงหาว่า มีผู้เรียนในระดับนี้กี่คนโดยประมาณ 2. วิทยุเครื่องหนึ่งราคา1,650บาท ถ้ามีผู้ซื้อเงินสดจะลดให้ 9%อยากทราบว่า ถ้าต้องซื้อสด ต้องจ่ายเงินประมาณกี่บาท
• 22. 3. ต้องการตัดหญ้าในสนามที่มีขนาดกว้าง 21 เมตร ยาว 36 เมตรโดยเสียค่าใช้จ่ายเมตรละ0.95 บาท จงหาว่าจะต้องจ่ายเงินค่าจ้างตัดหญ้าประมาณกี่บาท 4. ถ้าต้องซื้อผ้ามาตัดเสื้อ 13.2 เมตร เมตรละ 12.5 บาท จะต้องจ่ายเงินประมาณกี่บาท

จาก:http://www.slideshare.net/JiraprapaSuwannajak/ss-8618590

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้

ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 เช่น

2x+3 = 0

2a+1 = 0

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1)สมบัติสมมาตร (symmetric property)

ถ้า a = b แล้ว b = a

2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)

ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย(distributiveproperty)

a(b+c) = ab + ac

4) สมบัติการบวก(additiveproperty)

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

หรือ a - c = b - c

5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)

ถ้า a = b แล้ว

a x c = b x c

หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0

วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวทำได้ดั้งนี้

1) จัดสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยให้ตัวแปรอยู่ข้างหนึ่ง และตัวคงที่อยู่อีกข้างหนึ่ง โดยใช้คุณสมบัติการบวก

(2) ถ้าสมการอยู่ในรูปของเศษส่วน ให้พยายามทำส่วนให้หมด โดยนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทุกพจน์

(3) ถ้าสมการอยู่ในรูปที่มีวงเล็บ ให้จัดการถอดวงเล็บออกก่อนโดยใช้สมบัติการแจกแจง

(4) ดำเนินการแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง หรือจะทำอย่างรวดเร็วโดยการย้ายข้าง (การย้ายให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวที่ย้าย จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็นหาร จากหารเป็นคูณ โดยจะย้าย

จากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้ายก็ได้ ซึ่งการย้ายข้างก็คือ ก็คือ การใช้สมบัติเท่ากันของจำนวนจริงนั้นเอง

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟเส้นตรง

กราฟเส้นตรง

สมการกราฟเส้นตรงจะอยู่ในรูปต่าง ๆ ดังนี้

1. y = mx + c เป็นสมการเส้นตรงในรูปความชันที่มีความชัน

เท่ากับ m และระยะตัดแกน Y เท่ากับ c

ตัวอย่าง

y = 3x + 2 y = 2x - 5

y = x + 7

y = - x - 8

2. Ax + By + C = 0 เป็นสมการเส้นตรงในรูปทั่วไป

ตัวอย่าง

เช่น x + 2y + 5 = 0

3x - 4y - 12 = 0

8x + 7y - 20 = 0

เราสามารถเปลี่ยนสมการเส้นตรงในรูปทั่วไปให้ในรูปความชันได้ ดังนี้

Ax + By + C = 0

By = - Ax - C

Y = - X - (นำ B หารตลอด)

เมื่อเทียบ y = mx + c

จะได้ m = - และ C = -

3. y = c เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะทาง C หน่วย

ตัวอย่าง

Y = 2 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่เหนือแกน X = 2 หน่วย

Y = -5 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และ

อยู่ใต้แกน X = 5 หน่วย

4. X = C เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ 5 หน่วย |C| หน่วย

ตัวอย่าง

X = 3 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่าง

จาก แกน Y ไปทางขวา 3 หน่วย

X = -4 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และห่างอยู่

จาก แกน Y ไปทางซ้าย 4 หน่วย

การเขียนกราฟแสดงเส้นตรงการเขียนกราฟแสดงเส้นตรงเราอาจกำหนดจุด 2 จุด จากสมการ

ที่กำหนดให้แล้วลากเส้นผ่านจุดทั้งสองนั้น เพื่อป้องกันความผิดพลาดอาจกำหนดจุดมากกว่า 2 จุดก็ได้ ส่วนมากนิยมหาจุดที่กราฟตัดแกน X และแกน Y กราฟตัดแกน X เมื่อค่า y = 0 กราฟตัดแกน y เมื่อค่า X = 0

สมการที่อยู่ในรูประยะตัดแกน X และแกน Y คือ + = 1

เมื่อ a เป็นระยะตัดแกน X และ b เป็นระยะตัดแกน Y

จากสมการดังกล่าวเราได้จุดที่กราฟตัดแกน X คือ ( a , 0 ) และกราฟตัดแกน Y ที่จุด (0 , b)

ข้อสังเกต

ถ้าต้องการตรวจสอบกราฟที่เขียนมาถูกต้องหรือไม่ ให้สมมุติค่า X แล้วแทนในสมการ y = 2x - 5 เพื่อหาค่า y ดังนี้

ให้ x = 3 , y = 2(3) - 5 = 1

ดังนั้น จุด (3 , 1) จะอยู่บนเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น y = 2x - 5

ความชัน (Slope) ของเส้นตรง

ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = mx + c คือ m

ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น Ax + By + C = 0 คือ -

ตัวอย่าง

ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = 2x - 3 คือ 2

ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น 3x - 2y + 5 = 0 คือ =

ข้อสังเกต 1. เส้นตรง y = 3x - 5 มีความชันเป็นบวก กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

2. เส้นตรง 3x + 4y - 12 = 0 มีความชันเป็นลบ กราฟจะทำมุมป้านกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

3. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะมีความชันเป็นศูนย์

4. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y เส้นตรงนั้นไม่มีความชัน

กราฟเส้นตรงกับการนำไปใช้

การใช้กราฟเส้นตรงแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองชุดเป็นการบอกลักษณะของข้อมูลได้อย่างรวดเร็วและชัดเจน ถ้าเราทราบปริมาณหนึ่ง จะหาค่าอีกปริมาณหนึ่งได้

กราฟเส้นตรง

กราฟเส้นตรงเป็นกราฟที่เขียนจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปทั่วไป

Ax + By + C = 0

เมื่อ A , B และ C เป็นค่าคงตัว ที่ A , B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และจากรูปทั่วไปสมการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปมาตราฐานคือ

y = mx + c m และ c เป็นค่าคงตัว

การจัดสมการจากรูปทั่วไปเป็นมาตราฐานสามารถจัดได้กับสมการเชิงเส้นทุกสมการ และค่า m และ C จะทำให้บอกลักษณะของกราฟเส้นตรง

ถ้าความชันเป็น+ กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x ถ้าความชันเป็น- กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x

จาก:http://blog.school.net.th/blogs/Rujira106.php/2009/02/12/-114

การแปลงทางเรขาคณิต

การเลื่อนขนาน (Translation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนขนานและนำไปใช้ได้

บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่

ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้

อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนานบนพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง เลื่อนขนาน

ทำให้นักเรียนเข้าใจรูปเหลี่ยมและรูปทรงเรขาคณิตมากขึ้น และนำความรู้ไปใช้

หาพื้นที่และปริมาตรของรูปเหลี่ยมและรูปทรงต่างๆ

นักเรียนสามารถพัฒนาศักยภาพทางคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง

การเลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การ เลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (slide)” ดังตัวย่าง

การสะท้อน (Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนและนำไปใช้ได้

บอกรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ภาพที่

ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้

อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนบนระนาบพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อน

การสะท้อนต้องมีรูปต้นแบบที่ต้องการสะท้อนและเส้นสะท้อน (reflection line หรือ Mirror line) การสะท้อนรูปข้ามเส้นสะท้อนเสมือนกับการพลิกรูปข้ามเส้นสะท้อนหรือการดูเงา สะท้อนบนกระจกเงาที่วางบนเส้นสะท้อน การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่

1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม

2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน

การหมุน (Rotation)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การหมุน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการหมุนและนำไปใช้ได้

บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบได้และสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้

ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้

อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการหมุนรูปต้นแบบบนระนาบพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การหมุน

การหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนาดของมุมที่ต้องการในรูปนั้น การมุมเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะอยู่นอกรูปหรือบนรูปก็ได้ การหมุนจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาก็ได้ โดยทั่วไปเมื่อไม่ระบุไว้การหมุนรูปจะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา บางครั้งถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ -x๐ หรือ ถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์ x๐

การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide Reflection)

จุดประสงค์ในการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน

เข้าใจเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการสะท้อนแบบเลื่อนและนำไปใช้ ได้

บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนและสามารถอิบายวิธีการที่จะได้

ภาพที่ปรากฏ เมื่อกำหนดรูปแบบและภาพนั้นได้

อธิบายลักษณะของรูปที่เกิดขึ้นจากการสะท้อนแบบเลื่อนบนระนาบพิกัดฉากได้

ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับจากการเรียนเรื่อง การสะท้อนแบบเลื่อน

การสะท้อนแบบเลื่อน เป็นการแปลงอีกชนิดหนึ่ง การสะท้อนแบบเลื่อน ประกอบด้วย การสะท้อนและการเลื่อนที่เกิดขึ้นเป็นลำดับ โดยเกิดจากการสะท้อนก่อนแล้วตามด้วยการเลื่อนขนาน (สิ่งสำคัญในการสะท้อนแบบเลื่อน คือ แกนสะท้อน ระยะทางและทิศทางในการเลื่อน)

จาก :http://www.school.net.th/library/create-web/10000/science/10000-5854.html