sunisa: มกราคม 2012

วันอังคารที่ 24 มกราคม พ.ศ. 2555

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ในการวัดการกระจายโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยนั้นมีปัญหาในเรื่องการใช้เครื่องหมายสัมบูรณ์ (Absolute Value) ซึ่งทำให้ค่าที่วัดได้ลดความเชื่อถือไป จึงมีการคิดวิธีวัดการกระจายโดยการยกกำลังสองของผลต่างระหว่างคะแนนกับมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นแล้วถอดกรณ์ที่ 2 ของส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสองเฉลี่ย เป็นวิธีการวัดการกระจายที่ เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้วัดการกระจายของข้อมูล เพื่อพิจารณาว่าคะแนนแต่ละตัวจะแตกต่างไปจากค่ากลางมากน้อยเพียงใด คำนวณโดยเอาคะแนน X แต่ละตัวลบด้วยมัชฌิมเลขคณิต(

) ของข้อมูลชุดนั้น ซึ่ง X –

แต่ละตัวอาจมีค่าเป็นลบ (X <

) หรือบวก (X>

) จึงต้องยกกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบนแต่ละตัวนั้นเพื่อให้เครื่องหมายหมดไป แล้วหาค่าเฉลี่ยของผลบวกของกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบน คือ

ซึ่งจะได้รับค่าความแปรปรวน ถ้าถอดรากที่สองของค่าความ แปรปรวนจะได้ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าเฉลี่ยของผลรวมทั้งหมดของคะแนนเบี่ยงเบนยกกำลังสอง ใช้สัญลักษณ์ S² แทนความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างและ s ² แทนความแปรปรวนของประชากรซึ่งหาได้จากสูตร ความแปรปรวนประชากร s ²=

ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง S²=

คือ มัชฌิมเลขคณิตกลุ่มตัวอย่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือ รากที่สองของความแปรปรวน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร s ใช้สูตร s =

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง S ใช้สูตร S =

ซึ่งใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล เพื่อการวิจัย
ในที่นี้เราจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการวัดการกระจายซึ่งใช้กับจำนวนข้อมูลจำนวนไม่มากนักและนิยมใช้กันโดยทั่วไป ซึ่งคำนวณได้ดังนี้

X	( X-)	( X-)²
1 2 4 6 8 9	-4 -3 1 1 3 4	16 9 1 1 9 16
		= 52

S.D. =

ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 2.9

คะแนน	f	x	fx	x -	(x - )²	f(x - )²
5 – 9 10 – 14 15 - 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39	3 6 7 8 10 12 14	7 12 17 22 27 32 37	21 72 119 176 270 384 148	-16.8 -11.8 -6.8 -1.8 3.2 8.2 13.2	282.24 139.24 46.24 3.24 10.24 67.24 172.24	846.72 835.44 323.68 25.92 102.4 806.88 696.96
N = 50

วิธีทำ 1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต

ข้อสังเกต

เป็นการวัดการกระจายที่ให้ค่าลักษณะข้อมูลได้ละเอียดและดีที่สุดและเป็นการวัดการกระจายที่ใช้กันมากที่สุด

เมื่อเอาค่าคงที่ (C) บวก หรือ ลบคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อเอาค่าคงที่ (C) คูณคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

เมื่อเอาค่าคงที่ (C) หารคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

Sx

จาก:http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/3.9.html

=

2. หาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตร S.D =

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้ คือ 8.53

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ (Grouped Data)

S.D. =

S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
f คือ ความถี่
X คือ จุดกึ่งกลางชั้น คือ มัชฌิมเลขคณิต
N คือ จำนวนข้อมูล

ตัวอย่างที่ 19 จากข้อมูลในตารางจงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data) สูตร S.D. =
S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
X₁ คือ ข้อมูล (i = 1,2,3…N) คือ มัชฌิมเลขคณิตN คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 17 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 1, 2, 4, 6, 8, 9วิธีทำ 1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต = = 5
หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สร้างตารางช่วยในการคำนวณ

สมการ

สมการ

หมายถึงประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงว่าสองสิ่งเหมือนกัน หรือเทียบเท่ากัน ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ดังตัวอย่าง

2 + 3 = 5

สมการมักใช้เป็นการกำหนดสภาวะความเท่ากันของสองนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เมื่อเราให้ค่าใดๆ กับ

x

สมการนี้จะเป็นจริงเสมอ

x - x = 0

ทั้งสองสมการข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของสมการที่เป็นเอกลักษณ์ ซึ่งหมายความว่า สมการจะเป็นจริงโดยไม่ต้องมีการแทนค่าใดๆ ลงในตัวแปร สำหรับสมการต่อไปนี้ไม่ได้เป็นเอกลักษณ์

x + 1 = 2

สมการข้างบนนี้จะไม่เป็นจริงเมื่อแทนค่าอื่นใด แต่จะเป็นจริงแค่เพียงค่าเดียว เราเรียกค่าที่ทำให้สมการเป็นจริงนั้นว่า รากของสมการ สำหรับรากของสมการดังกล่าวคือ 1 ดังนั้น สมการนี้สามารถเป็นจริงได้ ขึ้นอยู่กับค่าของ x เรียก x ที่ทำให้สมการเป็นจริงว่า "คำตอบของสมการ"

นั่นคือการแก้สมการจึงเป็นการหาคำตอบของสมการวิธี

หนึ่ง เช่น 5-x = 1 มีคำตอบของสมการ คือ 4 หลักการแก้สมการ

1. ถ้าตัวเลขในฝั่งซ้ายมีค่าเป็นบวก และฝั่งขวามีค่าเป็นบวกและมากกว่าฝั่งซ้ายให้ย้ายไปลบได้เลย เช่น A+56=57 A =57-56 A =1 2 .ถ้าฝั่งซ้ายมีค่าเป็นบวก และฝั่งขวามีค่าเป็นบวก แต่ฝั่งขวามีค่าน้อยกว่าให้ย้ายตัวแปรก่อน เช่น

A+19 = 10 19 = 10-A 19-10 = A 9 = A คุณสมบัติ

ถ้าสมการในพีชคณิตสามารถเป็นจริงได้ การกระทำต่อไปนี้ก็สามรถทำให้ทั้งสองข้างเท่ากัน เราเรียกว่า

สมบัติการเท่ากัน

ปริมาณใดๆ สามารถบวกทั้งสองข้างของสมการได้
ปริมาณใดๆ สามารถลบทั้งสองข้างของสมการได้
ปริมาณใดๆ สามารถคูณทั้งสองข้างของสมการได้
ปริมาณใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ สามารถหารทั้งสองข้างของสมการได้
โดยทั่วไป ฟังก์ชันใดๆ สามารถนำไปใช้กับทั้งสองข้างของสมการได้ (ยกเว้นบางฟังก์ชันที่ต้องกำหนดเงื่อนไขก่อนนำไปใช้ เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเอกซโพเนนเชียล เป็นต้น)

จาก:http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3

วันพฤหัสบดีที่ 5 มกราคม พ.ศ. 2555

วิธีการหาร

การหารในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการเลขคณิตที่เป็นการดำเนินการผันกลับของการคูณ และบางครั้งอาจมองได้ว่าเป็นการทำซ้ำการลบ พูดง่ายๆ คือการแบ่งออกหรือเอาเอาออกเท่าๆ กัน จนกระทั่งตัวหารเหลือศูนย์ (หารลงตัว)
ถ้า

a × b = c,

เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 แล้ว

a = c ÷ b

(อ่านว่า "c หารด้วย b") ตัวอย่างเช่น 6 ÷ 3 = 2 เพราะว่า 2 × 3 = 6
ในนิพจน์ข้างบน a คือ ผลหาร, b คือ ตัวหาร และ c คือ ตัวตั้งหาร
นิพจน์ c ÷ b มักเขียนแทนด้วย "c/b" โดยเฉพาะในคณิตศาสตร์ขั้นสูง (รวมถึงการประยุกต์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม) และในภาษาโปรแกรม การเขียนแบบนี้ มักใช้แทนเศษส่วน ซึ่งยังไม่ต้องการหาค่า
ในภาษาอื่นๆ ที่ไม่ใช่ภาษาอังกฤษ c ÷ b มักเขียนว่า c : b ซึ่งในภาษาอังกฤษ จะใช้เครื่องหมายทวิภาค (:) เมื่อมันเกี่ยวข้องกับสัดส่วน
สำหรับการหารด้วยศูนย์นั้น ไม่นิยาม

ตัวอย่างการหารยาว
ในการหารยาวมีขั้นตอนหลายอย่างที่ต้องทำตามลำดับ ยกตัวอย่างจากโจทย์การหาร 950 ด้วย 4
1. อันดับแรก เขียนตัวตั้งและตัวหารให้อยู่ในรูปแบบนี้

$4 \overline{) 950} \$

กระบวนการนี้จะเป็นการหารจำนวนในแต่ละหลักของตัวตั้ง (950) ด้วยตัวหาร (4)
2. ตัวเลขในหลักแรกทางซ้ายมือ (9) จะถูกหารด้วยตัวหาร (4) เขียนผลหารที่เป็นจำนวนเต็มไว้เหนือหลักที่หาร (2) โดยไม่ต้องสนใจเศษเหลือ จากนั้นให้คูณตัวหารกับผลหารดังกล่าว (4 × 2 = 8) ใส่ไว้ใต้ตัวตั้งหารในหลักที่ตรงกัน

$\begin{matrix} 2\\ 4\overline{)950}\\ 8 \end{matrix}$

3. ลบตัวเลขด้านล่าง (8) ด้วยตัวเลขด้านบนที่อยู่ติดกัน (9) ใส่คำตอบ (1) ไว้ใต้ตัวเลขด้านล่าง (8) จากนั้นให้ดึงตัวตั้งหารในหลักถัดไปลงมา (5) ใส่ไว้ทางขวาของผลลบนั้น

$\begin{matrix} 2\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15 \end{matrix}$

4. ทำขั้นตอนที่ 2 และ 3 ซ้ำโดยใช้จำนวนใหม่ที่อยู่ล่างสุดเป็นตัวตั้งหาร (15) หารด้วยตัวหารตัวเดิม (4) และเขียนผลหารไว้ข้างบน เขียนผลคูณระหว่างผลหารกับตัวหารไว้ข้างล่าง

$\begin{matrix} \,\,23\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15\\ \ \underline{12}\\ \quad\;\,30 \end{matrix}$

5. ทำขั้นตอนที่ 4 ซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะครบทุกหลักของตัวตั้งหาร จำนวนที่อยู่เหนือขีดคือผลหาร (237) และจำนวนที่เกิดจากผลลบตัวสุดท้ายจะเป็นเศษเหลือ (2)

$\begin{matrix} \quad 237\\ 4\overline{)950}\\ \underline{8}\\ \;\,15\\ \ \underline{12}\\ \quad\;\,30\\ \quad\;\,\underline{28}\\ \qquad 2 \end{matrix}$

ดังนั้นคำตอบของโจทย์ข้างต้นคือ 237 เศษ 2 ในอีกทางหนึ่งเรายังสามารถหารต่อไปได้อีกเพื่อให้ได้คำตอบเป็นทศนิยม โดยการใส่จุดทศนิยมและเติมศูนย์เท่าที่ต้องการทางด้านขวาของตัวตั้งหาร แล้วนับเลขศูนย์นั้นเป็นตัวตั้งหารอีกหลักหนึ่ง ดังนั้นขั้นตอนต่อไปของโจทย์เดิมทำได้ดังนี้

จาก:http://th.wikipedia.org/wiki/%